Як знайти синус кута трикутника?

Щоб знайти синус кута прямокутного трикутника, потрібно згадати, що таке синус по визначенню. А визначення дуже просте: синус кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи.

Як обчислювати синуси

Якщо ми маємо трикутник АВС, у якого А -прямий кут, то сторони АВ і АС будуть катетами, а сторона ВС - гіпотенузою. Значить, за визначенням, синус кута В ​​дорівнює відношенню катета АС до гіпотенузи: sinB = AC / BC, а синус іншого кутка sinC = AB / BC.

У прямокутному трикутнику функції кутівобчислювати зручно: не потрібні ніякі додаткові побудови. Досить знати довжини потрібних сторін. Але частіше відома тільки частина необхідних даних, інші потрібно шукати. Розглянемо, як це зробити.

Шукаємо синус по двом катетам

Беремо той же самий трикутник АВС з прямим кутом А, в якому нам відомі розміри катетів: AB = a, AC = c. Щоб обчислити синус кута С, потрібно катет поділити на гіпотенузу:

• sinC = AB / BC = a / BC (1).

Але гіпотенузу доведеться рахувати по теоремі Піфагора:

• BC = √ (AB² + AC²) = √ (a² + b²). (2)

Поставляємо знайдене значення гіпотенузи (2) в вираз (1), отримуємо відповідь:

• sinC = a / √ (a² + b²).

Шукаємо синус по гіпотенузі і прилеглому катету

Тепер в тому ж трикутнику нам потрібно знайти синус того ж кута С, але відомі при цьому гіпотенуза BC = b і катет AC = с. За допомогою теореми Піфагора: AB² + AC² = BC² шукаємо катет AB:

• AB = √ (b²-c²).

Тепер підставляємо знайдене значення АВ в формулу для синуса:

• sinC = AB / b = √ (b²-c²) / b.

Обчислення синуса по одній стороні і гострого кута

У трикутнику АВС з прямим кутом А відомий кут В = β і катет АC = c. Потрібно знайти синус кута С.

Спосіб 1.

Найпростіше - якщо згадати, що сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180 °:

• А + В + С = 180 °.
• Кут А = 90 °, В = β, значить,
• С = 180 ° -90 ° - β = 90 ° - β.
• Звідси sinC = sin (90 ° - β).

Спосіб 2.

Але можна піти й іншим шляхом:

• Sinβ = AC / BC; Sinβ = c / BC. Звідси:
• BC = с / Sinβ.

З теореми Піфагора AB² + AC² = ВС² знаходимо гіпотенузу:

• AB = √ (BC²-AC²).

Підставляємо відомі значення:

• AB = √ (с? / Sin²β-c²) = √с² (1 / Sin²β-1) = с√ (1 / Sin²β-1).

Звідси знаходимо синус кута С:

• sinC = AB / BC = с√ (1 / Sin²β-1) / с / Sinβ = Sinβ √ (1 / Sin²β-1)

відповідь:

• sinC = Sinβ √ (1 / Sin²β-1).