Як знайти синус?

Вивчення геометрії допомагає розвивати мислення. Цей предмет обов'язково входить в шкільну підготовку. У життєдіяльності знання цього предмета може стати в нагоді - наприклад, при плануванні квартири.

З історії

В рамках курсу геометрії вивчається також тригонометрія, яка досліджує тригонометричні функції. У тригонометрії ми вивчаємо синуси, косинуси, тангенси і котангенс кута.

Але на даний момент почнемо з найпростішого - синуса. Давайте розглянемо більш детально найперше поняття - синус кута в геометрії. Що таке синус і як його знайти?

Поняття «синус кута» і синусоїди

Синус кута - це співвідношення значеньпротилежного катета і гіпотенузи прямокутного трикутника. Це пряма тригонометрическая функція, яка на письмі позначається як «sin (x)», де (х) - кут трикутника.

На графіку синус кута позначається синусоїдою зісвоїми особливостями. Синусоїда виглядає як безперервна хвилеподібна лінія, яка лежить в певних рамках на площині координат. Функція непарна, тому симетрична відносно 0 на площині координат (виходить з початку відліку координат).

Область визначення цієї функції лежить вдіапазоні від -1 до +1 на декартовій системі координат. Період функції синус кута становить 2 Пі. Це означає, що кожні 2 Пі малюнок повторюється, і синусоїда проходить повний цикл.

рівняння синусоїди

• sin х = a / c
• де а - протилежні до кута трикутника катет
• с - гіпотенуза прямокутного трикутника

Властивості синуса кута

1. sin (x) = - sin (x). Ця особливість демонструє, що функція симетрична, і якщо відкласти на системі координат в обидві сторони значення х і (-х), то ординати цих точок будуть протилежними. Вони будуть знаходитися на рівній відстані один від одного.
2. Ще однією особливістю цієї функції є те,що графік функції зростає на відрізку [- П / 2 + 2 Пn]; [П / 2 + 2Пn], де n - будь-яке ціле число. Зменшення графіка синуса кута буде спостерігатися на відрізку: [П / 2 + 2 Пn]; [3П / 2 + 2Пn].
3. sin (x)> 0, коли х лежить в діапазоні (2Пn, П + 2Пn)
4. (X) <0, коли х знаходиться в діапазоні (П + 2Пn, 2Пn)

Значення синусів кута визначаються за спеціальнимитаблиць. Створені такі таблиці для полегшення процесу підрахунку складних формул і рівнянь. Вона легка у використанні і містить значення не тільки функції sin (x), але також і значення інших функцій.

Більш того, таблиця стандартних значень цихфункцій включена до обов'язкового вивчення на пам'ять, як таблиця множення. Особливо це актуально для класів з фізико-математичним ухилом. У таблиці можна побачити значення основних використовуваних в тригонометрії кутів: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 і 360 градусів.

значення кута α (градусів)	0	15	30	45	60	75	90	120	135	150	180	270	360
значення кута α в радіанах (через число пі)	0	π / 12	π / 6	π / 4	π / 3	5π / 12	π / 2	2π / 3	3π / 4	5π / 6	π	3π / 2	2π
sin (синус)	0	√3-1 / 2√2	1/2	√2 / 2	√3 / 2	√3 + 1 / 2√2	1	√3 / 2	√2 / 2	1/2	0	-1	0

Також існує таблиця, яка визначає значеннятригонометричних функцій нестандартних кутів. Користуючись різними таблицями, можна без праці обчислити синус, косинус, тангенс і котангенс деяких кутів.

З тригонометричними функціями складаютьсярівняння. Вирішувати ці рівняння легко, якщо знати прості тригонометричні тотожності та приведення функцій, наприклад, такі, як sin (П / 2 + х) = cos (x) та інші. Для таких привидів також складена окрема таблиця.

Як знайти синус кута

Коли стоїть завдання знайти синус кута, а за умовою у нас є тільки косинус, тангенс, або котангенс кута, ми легко можемо обчислити потрібне за допомогою тригонометричних тотожностей.

• sin²x + cos²x = 1

Виходячи з цього рівняння, ми можемо знайти як синус, так і косинус, в залежності від того, яке значення невідомо. У нас вийде тригонометрическое рівняння з одним невідомим:

• sin²x = 1 - cos²x
• sin x = ± √ 1 - cos²x
• ctg²x + 1 = 1 / sin²x

З цього рівняння можна знайти значення синуса, знаючи значення котангенса кута. Для спрощення замініть sin²x = у, і тоді у вас вийде просте рівняння. Наприклад, значення котангенса дорівнює 1, тоді:

• 1 + 1 = 1 / у
• 2 = 1 / у
• 2у = 1
• у = 1/2

Тепер виконуємо зворотний заміну Ігрека:

• sin²x = ½
• sin x = 1 / √2

Оскільки ми взяли значення котангенса для стандартного кута (45⁰), Отримані значення можна перевірити по таблиці.

Якщо у вас дано значення тангенса, а потрібно знайти синус, допоможе ще одне тригонометричну тотожність:

• tg x * ctg x = 1

З цього виходить що:

• ctg x = 1 / tg x

Для того щоб знайти синус нестандартного кута, наприклад, 240⁰, Необхідно скористатися формулами приведення кутів. Ми знаємо, що π у нас відповідає 180⁰. Таким чином, ми висловимо наше рівність за допомогою стандартних кутів шляхом розкладання.

• 240⁰ = 180⁰ +60⁰

Нам необхідно знайти наступне: sin (180⁰ +60⁰). У тригонометрії є формули приведення, які в даному випадку стануть в нагоді. Це формула:

• sin (π + х) = - sin (х)

Таким чином, синус кута 240 градусів дорівнює:

• sin (180⁰ +60⁰) = - sin (60⁰) = - √3 / 2

У нашому випадку, х = 60, а П, відповідно, 180 градусам. Значення (-√3 / 2) ми знайшли по таблиці значень функцій стандартних кутів.

Таким чином можна розкласти нестандартні кути, наприклад: 210 = 180 + 30.

У підручниках і інтернеті можна зустріти безлічформул для розрахунку тригонометричних рівнянь - віднімання, додавання, множення і ділення тригонометричних функцій різних кутів один на одного, піднесення в ступінь і перетворення однієї функції в іншу за допомогою простих тотожностей і багато інших операцій.

Додаткову інформацію щодо синусів і косинусів можна отримати в статтях:

• Що таке синус
• Як знайти синус, якщо відомий косинус