Як знайти площу поверхні піраміди?

Яку фігуру ми називаємо пірамідою? По-перше, це багатогранник. По-друге, в основі цього багатогранника розташований довільний багатокутник, а сторони піраміди (бічні грані) обов'язково мають форму трикутників, сходяться в одній загальній вершині. Ось тепер, розібравшись з терміном, з'ясуємо, як знайти площу поверхні піраміди.

Зрозуміло, що площа поверхні такого геометричного тіла складеться з суми площ підстави і всієї його бічної поверхні.

Обчислення площі підстави піраміди

Вибір розрахункової формули залежить від форми лежачогов підставі нашої піраміди багатокутника. Він може бути правильним, тобто із сторонами однакової довжини, або неправильним. Розглянемо обидва варіанти.

В основі - правильний багатокутник

Зі шкільного курсу відомо:

• площа квадрата дорівнюватиме довжині його боку, яка була зведена в квадрат;
• площа рівностороннього трикутника дорівнює квадрату його сторони, поділеній на 4 і помноженому на квадратний корінь з трьох.

Але існує і загальна формула, для розрахункуплощі будь-якого правильного багатокутника (Sn): треба помножити значення периметра цього багатокутника (Р) на радіус вписаного в нього кола (r), а потім розділити отриманий результат на два: Sn = 1 / 2P * r.

В основі - неправильний багатокутник

Схема знаходження його площі полягає в тому,щоб спочатку розбити весь багатокутник на трикутники, обчислити площу кожного з них по формулі: 1 / 2a * h (де а - підстава трикутника, h - опущена на це підстава висота), скласти все результати.

Площа бічної поверхні піраміди

Тепер розрахуємо площу бічної поверхні піраміди, тобто суму площ всіх її бічних сторін. Тут також можливі 2 варіанти.

1. Нехай у нас є довільна піраміда, тобто така, в основі якої - неправильний багатокутник. Тоді слід обчислити окремо площа кожної грані і скласти результати. Так як бічними сторонами піраміди за визначенням можуть бути тільки трикутники, то розрахунок йде за згаданою вище формулою: S = 1 / 2a * h.
2. Нехай наша піраміда - правильна, тобто в її основі лежить правильний багатокутник, і проекція вершини піраміди виявляється в його центрі. Тоді для обчислення площі бічної поверхні (Sб) досить знайти половину твору периметра багатокутника-підстави (Р) на висоту (h) збоку (однакову для всіх граней): Sб = 1/2 Р * h. Периметр багатокутника визначається складанням довжин всіх його сторін.

Повна площа поверхні правильної піраміди знайдеться підсумовуванням площі її заснування з площею всієї бічної поверхні.

приклади

Для прикладу обчислимо алгебраїчно площі поверхні декількох пірамід.

Площа поверхні трикутної піраміди

У підставі такої піраміди - трикутник. За формулою Sо = 1 / 2a * h знаходимо площа підстави. Цю ж формулу застосовуємо для знаходження площі кожної грані піраміди, також має трикутну форму, і отримуємо 3 площі: S1, S2 і S3. Площа бічної поверхні піраміди є сумою всіх площ: Sб = S1 + S2 + S3. Склавши площі бічних сторін і підстави, отримаємо повну площу поверхні шуканої піраміди: Sп = Sо + Sб.

Площа поверхні чотирикутної піраміди

Площа бічної поверхні - це сума 4-охдоданків: Sб = S1 + S2 + S3 + S4, кожне з яких обчислено за формулою площі трикутника. А площа підстави доведеться шукати, в залежності від форми чотирикутника - правильного або неправильного. Площа повної поверхні піраміди знову вийде шляхом складання площі підстави і повної площі поверхні заданої піраміди.